一、鲁珀特问题的起源与解决历程

（一）问题背景

400年前，欧洲贵族普法尔茨的鲁珀特亲王提出一个几何问题：能否在一个立方体上开洞，让另一个同等大小的立方体穿过。当时人们普遍认为这不可能，但鲁珀特亲王最终赢得赌金（尽管历史真实性存疑）。问题的核心在于对“洞”的理解，可从投影入手，通过调整立方体方向使影子容纳足够大的内接正方形来确定截面。

（二）问题求解

1. 早期探讨：第一个在书面上提到该问题的是约翰·沃利斯（1685年），但精确答案直到一个世纪后由荷兰数学家彼得·纽兰德给出。
2. 最优解：纽兰德证明从单位立方体四条棱上特定位置取四点形成正方形，沿其法向挖通孔道是问题的最优解。该答案在其去世后由老师整理发现。
3. 概念推广：数学家推广出“鲁珀特性质”，即几何体若能被同等或更大尺寸的自身副本穿过就是鲁珀特的。目前柏拉图多面体、所有n维超正方体都具备此性质，部分阿基米德多面体也被证实是鲁珀特的。

二、让·布尔甘的切片猜想

（一）问题提出

20世纪，数学家让·布尔甘在研究最大函数的背景下，提出关于高维形状的“布尔甘切片问题”：是否存在常数c>0，使得对于任何维度n和体积为1的凸体K，都存在超平面H，使K∩H的(n - 1)维体积至少为c。该问题看似简单，实则精妙，即使布尔甘本人也未能在有生之年完全解决。

（二）问题意义

布尔甘是传奇数学家，在多个数学领域贡献深远。他的切片猜想为高维几何学确立了新方向，成为学者理解高维凸体诸多问题的“敲门砖”，吸引了统计学、机器学习等领域学者的关注。

三、高维世界的复杂性

（一）高维现象

高维世界里物体行为违背低维直觉，如高维质量集中现象（高维球体积集中在薄球壳、高维立方体体积集中在角上、高维高斯正态分布质量集中在薄球壳），这些结论在概率论和实际应用中有重要价值。

（二）相关问题

Busemann–Petty问题是凸几何经典问题，探讨高维空间中截面体积与整体体积的关系。在二维到四维空间该直觉正确，但五维及以上维度不成立，体现了高维的复杂性。

四、布尔甘切片问题的解决

（一）突破关键

2024年12月，以色列魏茨曼科学研究所的博阿兹·克拉塔格和法国普瓦捷大学的约瑟夫·勒埃克宣告问题解决。关键在于中国科学院数学家关庆扬得到的结论，其工作建立在随机局部化技术上，改进了凸体迷向常数的上界估计。

（二）证明过程

克拉塔格和勒埃克结合米尔曼的M - 椭球理论、随机局部化技术以及关庆扬的最新参数上界，利用Eldan - Mikulincer的Shannon - Stam不等式稳定性估计，确立了凸体迷向常数有界的关键定理，从而证明了布尔甘的切片猜想。

五、理论突破的意义与应用

（一）理论意义

这一突破为高维几何学带来新的理论基础，也为处理高维数据集的统计学、人工智能的机器学习和计算机科学等应用领域提供了更深刻的理解和新工具。

（二）实际应用

“几何层析成像”可通过分析几何对象投影重建整体形状；解决切片问题及相关猜想发展出的概率方法反哺统计学和信息科学，为高维算法提供性能下限，帮助计算机科学家确定随机采样技术的优先级。